解：①如图2所示，

$A B$ 与 $O D$ 相交于点 $E$ ，

由（1）可知， $△ B O D$ ， $△ A O D$ 都是等边三角形，且 $O A$ ， $O D$ ， $O B$ 是 $⊙ O$ 的半径，

∴四边形 $A O B D$ 是菱形，

∴ $A B$ 与 $O D$ 垂直平分，

∵ $A D = 6$

∴ $D E = 3$ ， $A E = 3 \sqrt{3}$ ，

∴ $A B = 2 A E = 6 \sqrt{3}$ ；

∵ $∠ B A C = 30 °$ ，点 $D$ 是劣弧 $A B$ 的中点，

∴ $∠ D Q A = ∠ B Q D$

∴ $∠ D Q A = ∠ B A C = 30 °$

∵ $∠ Q D A = ∠ A D P$ ，

∴ $△ Q D A \sim △ A D P$ ，

∴ $\frac{D A}{D Q} = \frac{D P}{D A}$ ，

∴ $D Q = \frac{D A^{2}}{D P} = \frac{6^{2}}{4} = 9$ ，

∴ $P Q = D Q - P D = 9 - 4 = 5$ ；

②如图3所示，过点 $D$ ，作 $D N ⊥ B Q$ 交 $B Q$ 于点 $N$ ， $D M ⊥ A Q$ 交 $A Q$ 延长线于点 $M$ ，

∵ $∠ D Q A = ∠ B Q D = 30 °$

∴ $Q D$ 是 $∠ B Q A$ 的角平分线，

∴ $D N = D M$ ， $Q N = Q M$

又∵ $D B = D A$

∴ $R t △ D B N ≅ R t △ D A M$ ，

∴ $B N = A M$ ，

∴在 $R t △ D N Q$ 中， $\cos ∠ D Q N = \cos 30 ° = \frac{Q N}{Q D} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

∴ $2 Q N = \sqrt{3} Q D$ ，

即有 $\sqrt{3} Q D = 2 Q N = 2 Q M = Q M + Q A + A M = Q B + Q A$ .

江苏省扬州市高邮市2021年数学中考第一次适应性试卷