解：如图，连接

D E

，

$∵ B E$ 是直径，

$∴ ∠ B D E = 90 °$ ，

$∴ ∠ A C B = ∠ E D B = 90 °$ ，

$∴ A C // D E$ ，

$∵ ∠ B = ∠ C A D$ ， $∠ A C D = ∠ E D B$ ，

$∴ △ A C D \sim △ B D E$ ，

$∴ \frac{A C}{B D} = \frac{C D}{D E} = \frac{2}{3}$ ，

$∴$ 设 $C D = 2 x$ ， $D E = 3 x$ ，

$∵ A C // D E$ ，

$∴ \frac{D E}{A C} = \frac{B D}{B C}$ ，

$∴ \frac{3 x}{2} = \frac{3}{3 + 2 x}$ ，

$∴ x = \frac{1}{2}$ ，

$∴ C D = 1$ ， $B C = B D + C D = 4$ ，

$∴ A B = \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} = \sqrt{4 + 16} = 2 \sqrt{5}$ ，

$∵ D E // A C$ ，

$∴ \frac{A E}{A B} = \frac{C D}{B C}$ ，

$∴ A E = \frac{1}{4} \times 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

广西北部湾经济区2021年数学中考全真模拟试卷（二）