解：方法一：在线段

A D

上取点

N

，使

A N = 2 N D

则 $M N ∥ P A$

又由（1）得 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ∴ $M N ⊥$ 平面 $A B C D$

又∵ $A C \subset$ 平面 $A B C D$ ∴ $M N ⊥ A C$ 作 $N O ⊥ A C$ 于 $O$

又∵ $M N \cap N O = N$ ， $M N \subset$ 平面 $M N O$ ， $N O \subset$ 平面 $M N O$

∴ $A C ⊥$ 平面 $M N O$ 又∵ $M O \subset$ 平面 $M N O$ ∴ $A C ⊥ M O$

又∵ $A C ⊥ N O$ ∴ $∠ M O N$ 是二面角 $M - A C - D$ 的一个平面角

设 $\frac{P M}{P D} = x$ 则 $M N = (1 - x) A P = 2 - 2 x$ ， $O N = \frac{\sqrt{2}}{2} A N \frac{\sqrt{2}}{2} x A D = x$

这样，二面角 $M - A C - D$ 的大小为 $60 °$

即 $tan ∠ M O N =$ $\frac{M N}{O N} = \frac{2 - 2 x}{x} = tan 60 ° = \sqrt{3}$

即 $\frac{P M}{P D} = x = 4 - 2 \sqrt{3}$

∴满足要求的点 $M$ 存在，且 $\frac{P M}{P D} = 4 - 2 \sqrt{3}$

方法二：取 $B C$ 的中点 $E$ ，则 $A E$ 、 $A D$ 、 $A P$ 三条直线两两垂直

∴可以分别以直线 $A E$ 、 $A D$ 、 $A P$ 为 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 轴建立空间直角坐标系

且由（1）知 $\overset{⇀}{A P} = (0 ， 0 ， 2)$ 是平面 $A C D$ 的一个法向量

设 $\frac{P M}{P D} = x \in (0 ， 1)$ 则 $M N = (1 - x) A P = 2 - 2 x$ ， $A N = x A D = \sqrt{2} x$

∴ $\overset{⇀}{A M} = (0 ， \sqrt{2} x ， 2 - 2 x)$ ， $\overset{⇀}{A C} = (\sqrt{2} ， \sqrt{2} ， 0)$

设 $\overset{⇀}{A Q} = (a ， b ， c)$ 是平面 $A C M$ 的一个法向量

则 ${\begin{matrix} \overset{⇀}{A Q} \cdot \overset{⇀}{A M} = \sqrt{2} x b + (2 - 2 x) c = 0 \\ \overset{⇀}{A Q} \cdot \overset{⇀}{A C} = \sqrt{2} a + \sqrt{2} b = 0 \end{matrix}$ ∴ ${\begin{matrix} a = - b \\ c = \frac{\sqrt{2} x}{2 x - 2} b \end{matrix}$

令 $b = 2 x - 2$ ，则 $\overset{⇀}{A Q} = (- 2 x + 2 ， 2 x - 2 ， \sqrt{2} x)$ ，它背向二面角

又∵平面 $A C D$ 的法向量 $\overset{⇀}{A P} = (0 ， 0 ， 2)$ ，它指向二面角

这样，二面角 $M - A C - D$ 的大小为 $60 °$

即 $cos \overset{⇀}{A P} ， \overset{⇀}{A Q} =$ $\frac{\overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{A Q}}{| \overset{⇀}{A P} | \cdot | \overset{⇀}{A Q} |} =$ $\frac{2 \sqrt{2} x}{2 \cdot \sqrt{{(- 2 + 2 x)}^{2} + {(2 - 2 x)}^{2} + {(\sqrt{2} x)}^{2}}}$ $= cos 60 ° = \frac{1}{2}$

即 $x = 4 - 2 \sqrt{3}$

∴满足要求的点 $M$ 存在，且 $\frac{P M}{P D} = 4 - 2 \sqrt{3}$

河南省六市高三2021届理数第二次联考（二模）试卷