解：①成立；

过点E作EI∥BC 交AC于点I，如图2所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠AEI＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，

在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC＝∠AEI＝90°，AB＝2BC，

∴tan∠IAE＝ $\frac{I E}{A E} = \frac{B C}{A B} = \frac{1}{2}$ ，

∴AE＝2IE，

∵AE＝2CF，

∴IE＝CF，

∵EI∥BC，

∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，

在△EIG和△FCG中，

${\begin{matrix} ∠ E I G = ∠ F C G \\ E I = C F \\ ∠ I E G = ∠ C F G \end{matrix}$ ，

∴△EIG≌△FCG（ASA），

∴EG＝FG；

②解：过点F作FP∥AB交AC于P，如图3所示：

则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，

∴∠CPF＝∠CAB，

在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，

∴tan∠CPF＝ $\frac{C F}{P F}$ ＝tan∠CAB＝ $\frac{B C}{A B} = \frac{1}{2}$ ，

∴PF＝2CF，

∵AE＝2CF，

∴AE＝PF＝2，

同（2）得：△AEG≌△PFG（AAS），

∴AG＝PG，

∵BF＝2，CF＝1，

∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，

∴AC＝ $\sqrt{A B^{2} + B C^{2}}$ ＝ $\sqrt{6^{2} + 3^{2}}$ ＝3 $\sqrt{5}$ ，

∵FP∥AB，

∴△CPF∽△CAB，

∴ $\frac{P C}{A C} = \frac{C F}{B C} = \frac{1}{3}$ ，

∴PC＝ $\frac{1}{3}$ AC＝ $\sqrt{5}$ ，PA＝AC﹣PC＝2 $\sqrt{5}$ ，

∴AG＝PG＝ $\frac{1}{2}$ PA＝ $\sqrt{5}$ ，

∵FP∥CD，

∴△PFH∽△CDH，

∴ $\frac{P H}{C H} = \frac{P F}{C D} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ，

∴PH＝ $\frac{1}{4}$ PC＝ $\frac{\sqrt{5}}{4}$ ，

∴GH＝PG+PH＝ $\sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{4}$ ＝ $\frac{5 \sqrt{5}}{4}$ ．

辽宁省抚顺市抚顺县2021年中考数学一模试卷