解：延长

N M

、

F G

交于点R，连接

B R

，如图所示：

设 $∠ C D F = x$ ，

∵ $A B ⊥ C D ， B N ⊥ D F$ ，

∴ $∠ D E M = ∠ B H M = 90 °$ ，

∵ $∠ E M D = ∠ B M H$ ，

∴ $∠ A B N = ∠ C D F = x$ ，

∵ $∠ N M F = 2 ∠ N B A ， ∠ N M F = ∠ C D F + ∠ D N M$ ，

∴ $2 x = ∠ C D F + ∠ D N M$ ，

∴ $∠ D N M = x = ∠ C D F$ ，

∴ $M N = D M$ ，

∴ $E N = E D$ ，

同理可得： $F M = R M$ ，

∵ $M G ⊥ F R$ ，

∴ $F G = R G = B G$ ，

∴ $∠ G R B = ∠ G B R$ ，

过点R作RT⊥CD于T，如图所示：

∵ $∠ M R G = ∠ A B N = x$ ，

∴ $∠ N R B = ∠ N B R$ ，

∴ $N R = B N$ ，

∴ $∠ B E N = ∠ N T R = 90 °$ ，

∵ $∠ T N R = ∠ A B N = x$ ，

∴ $△ N T R ≌ △ B E N$ （AAS），

∴ $E N = R T = E G$ ，

设 $A E = m$ ，则 $A E = E D = E G = N E = m$ ，

∵ $A G = B G = 2 m$ ，

∴ $A B = 4 m$ ，

∵ $A B = C D$ ，

∴ $C D = 4 m$ ，

∴ $C N = 2 m$ ，

∴ $C N = D N$ ，

连接 $O N$ ，如图所示：

∴ $O N ⊥ C D$ ，

∴ $∠ O N E = ∠ N E G = ∠ O G E = 90 °$ ，

∴四边形ENOG是正方形，

∴ $O G = E N = m$ ，

∵ $F G = B G = 2 m$ ，

∴ $O F = O G = m$ ，

∵ $O F = 3$ ，

∴ $m = 3$ ，

∵ $D E // F G$ ，

∴ $△ D E M ∽ △ F G M$ ，

∴ $\frac{D E}{F G} = \frac{E M}{M G}$ ，即 $\frac{3}{6} = \frac{E M}{M G} = \frac{1}{2}$ ，

∵ $E M + M G = 3$ ，

∴ $E M = 1$ ，

由勾股定理得： $M N = \sqrt{E N^{2} + E M^{2}} = \sqrt{10}$ ．

黑龙江省哈尔滨市萧红中学2021年中考数学一模试卷