解：连接AE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝∠AGC＝90°，

∵∠ABE＝∠ACG，

∴△ACG∽ABE，

∴ $\frac{A B}{A C} = \frac{B E}{C G}$ ，

∵∠AOC＝90°，OC＝OA，

∴ $\frac{O A}{A C} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

∴ $\frac{A B}{A C} = \sqrt{2}$ ，

∴ $\frac{B E}{C G} = \sqrt{2}$ ，

$\frac{2 \sqrt{10}}{C G} = \sqrt{2}$ ，

$C G =2 \sqrt{5}$ ，

∵DC是⊙O的直径，

∴∠CDE＝∠AGC＝90°，

∵∠DGE＝∠CAG，GE＝AG，

∴△ACG≌GDE，

∴DE＝GC＝ $2 \sqrt{5}$ ，

∵ $A C^{2} = C G^{2} + A G^{2}$ ， $D C^{2} = C E^{2} + D E^{2}$ ，

∴ $A C^{2} = （ 2 \sqrt{5} ）^{2} + A G^{2}$ ， $2 A C^{2} = {(2 \sqrt{5} + A G)}^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2}$ ，

${(2 \sqrt{5} + A G)}^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2} = 2 [（ 2 \sqrt{5} ）^{2} + A G^{2}]$ ，

解得， $A G = 4 \sqrt{5}$ ，

$A C = \sqrt{C G^{2} + A G^{2}} = 10$ ．

黑龙江省哈尔滨市南岗区2021年中考数学模拟试卷