解：如图，连接

S M

、

F D

∵ $∠ G F M = ∠ F P A$ ， $∠ Q P D = ∠ F P A$ ，

∴ $∠ G F M = ∠ Q P D$ ，

∵弧 $A B =$ 弧 $B C$ ，

∴ $∠ G F M = ∠ P D Q$ ，

∴ $∠ D P Q = ∠ P D Q$

∴ $Q P = Q D$

设 $Q D = y$ ，则 $Q P = Q D = y$

∵ $M N = N S$

∴ $∠ N S M = ∠ N M S$

由（2）知 $D C = D M$ ， $∠ C D N = ∠ M D N$

∴ $M N = C N$ ，

∴ $S N = N C$

∴ $∠ N C S = ∠ N S C$

∵ $∠ N S M + ∠ N M S + ∠ N C S + ∠ N S C = 180 °$

∴ $∠ C S M = 90 °$

∴ $∠ A S M = 180 ° - ∠ C S M = 90 °$

由（2）知 $F G ⊥ A M$ ， $A G = G M$ ，

∴ $A S = M S$

∴ $∠ S A M = ∠ S M A$

∵ $∠ M A S + ∠ A M S = 90 °$

∴ $∠ S A M = ∠ A M S = 45 °$

∴ $∠ C B N = ∠ C A M = 45 °$

∴ $∠ B C N = 90 ° - ∠ C B N = 90 ° - 45 ° = 45 °$

∴ $∠ C B N = ∠ B C N = 45 °$

设 $C N = x$

∴ $B N = C N = M N = x$

∴ $F M = 2$ ，

∴ $C F = 2 x + 2$

∵弧 $C D =$ 弧 $C D$ ，

∴ $∠ N F D = ∠ C B N = 45 °$

∵弧 $F B =$ 弧 $F B$ ，

∴ $∠ F D N = ∠ N C B = 45 °$

∴ $∠ N F D = ∠ F D N$

∴ $F N = N D = x + 2$

设 $∠ G F M = ∠ F P A = α$

∴ $∠ B F P = 90 ° - ∠ F P A = 90 ° - α$ ， $∠ F B Q = 90 ° - ∠ G F M = 90 ° - α$ ，

∴ $∠ B F P = ∠ F B Q$

∴ $B Q = F Q$

∴ $B N + N D - Q D = F P + Q P$ ，即 $x + x + 2 - y = F P + y$

∵ $F P = 2 C N = 2 x$ ，

∴ $x + x + 2 - y = 2 x + y$

∴ $y = 1$

在 $R t Δ F N Q$ 中， $F N = x + 2$ ， $N Q = N D - Q D = x + 1$ ， $F Q = F P + Q P = 2 x + 1$

∵ $F N^{2} + N Q^{2} = F Q^{2}$

∴ ${(x + 2)}^{2} + {(x + 1)}^{2} = {(2 x + 1)}^{2}$

∴ $x_{1} = - 1$ （舍）， $x_{2} = 2$

∴ $C N = x = 2 ， N D = x + 2 = 4$

∴在 $R t △ C D N$ 中， $C D = \sqrt{C N^{2} + N D^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$ ．

黑龙江省哈尔滨市阿城区2021年中考数学4月模拟试卷