∵C（0，4），B（4，0），∠COB＝90°，

∴△OBC为等腰直角三角形，

抛物线y＝−x²＋3x＋4的对称轴为x＝ $\frac{3}{2}$ ，

∴点E的横坐标为 $\frac{3}{2}$ ，

又∵点E在直线BC上，

∴点E的纵坐标为 $\frac{5}{2}$ ，

∴E（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{5}{2}$ ），

设M（ $\frac{3}{2}$ ，m），N（n，−n²＋3n＋4），

①如图2中，当MN＝EM，∠EMN＝90°，

由△NME∽△COB

则 ${\begin{matrix} m - \frac{5}{2} = n - \frac{3}{2} \\ m = - n^{2} + 3 n + 4 \end{matrix}$ ，

解得 ${\begin{matrix} n = 3 \\ m = 4 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} n = - 1 \\ m = 0 \end{matrix}$ （舍去），

∴ 此时点M的坐标为（ $\frac{3}{2}$ ，4），

②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，

则 ${\begin{matrix} m - \frac{5}{2} = n - \frac{3}{2} \\ \frac{5}{2} = - n^{2} + 3 n + 4 \end{matrix}$ ，

解得： ${\begin{matrix} n = \frac{3+ \sqrt{15}}{2} \\ m = \frac{5+ \sqrt{15}}{2} \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} n = \frac{3 - \sqrt{15}}{2} \\ m = \frac{5 - \sqrt{15}}{2} \end{matrix}$ （舍去），

∴ 此时点M的坐标为（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{5+ \sqrt{15}}{2}$ ），

③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，

此时△MNE与△COB相似，

此时的点M与点E关于①的结果（ $\frac{3}{2}$ ，4）对称，

设M（ $\frac{3}{2}$ ，m），

则m－4＝4－ $\frac{5}{2}$ ，

解得m＝ $\frac{11}{2}$ ，

M（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{11}{2}$ ）

∴ 此时点M的坐标为（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{11}{2}$ ）.

故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（ $\frac{3}{2}$ ，4）或（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{5+ \sqrt{15}}{2}$ ）或（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{11}{2}$ ）.

甘肃省天水市张家川县2021年数学中考模拟试卷（3月）