连接

B C

，如图3所示，

∵ $\frac{O B}{O C} = \frac{O C}{O A} = 2$ ， $∠ B C O = ∠ C O A = 90 °$ ，

∴ $△ B O C ∽ △ C O A$ ，

∴ $∠ O B C = ∠ O C A$ .

∵ $∠ O B C + ∠ O C B = 90 °$ ，

∴ $∠ O C A + ∠ O C B = 90 ° = ∠ A C B$ ，

∴ $B C ⊥ A C$ .

∵点 $B$ 的坐标为 $(- 4 ， 0)$ ，点 $C$ 的坐标为（0，2），点 $A$ 的坐标为（1，0），

∴直线 $B C$ 的解析式为 $y = \frac{1}{2} x + 2$ ，直线 $A C$ 的解析式为 $y = - 2 x + 2$ （可利用待定系数法求出）.

设点 $Q$ 的坐标为 $(- 2 ， n)$ ，则过点 $Q$ 且垂直 $A C$ 的直线的解析式为： $y = \frac{1}{2} x + n + 1$ .

联立两直线解析式成方程组，得：

${\begin{matrix} y = \frac{1}{2} x + n + 1 \\ y = - 2 x + 2 \end{matrix}$ ，解得： ${\begin{matrix} x = \frac{2 (1 - n)}{5} \\ y = \frac{4 n + 6}{5} \end{matrix}$ ，

∴两直线的交点坐标为 $(\frac{2 (1 - n)}{5} ， \frac{4 n + 6}{5})$ .

依题意，得： ${(- 2 - 0)}^{2} + {(n - 0)}^{2} = {[\frac{2 (1 - n)}{5} - (- 2)]}^{2} + {(\frac{4 n + 6}{5} - n)}^{2}$

整理，得 $n^{2} + 3 n - 4 = 0$ ，解得： $n_{1} = 1$ ， $n_{2} = - 4$ ，

∴点 $Q$ 的坐标为 $(- 2 ， 1)$ 或 $(- 2 ， - 4)$ .

综上所述：在这条直线上存在一个以 $Q$ 点为圆心， $O Q$ 为半径且与直线 $A C$ 相切的圆，点 $Q$ 的坐标为 $(- 2 ， 1)$ 或 $(- 2 ， - 4)$ .

湖北省黄石市2021年数学中考模拟试卷（4月）