解：①如图所示，最大横截面积为A的卫星，经过时间

Δ t

从图中的实线位置运动到了图中的虚线位置，该空间区域的稀薄空气颗粒的质量为

Δ m = ρ A v Δ t

以这部分稀薄空气颗粒为研究对象，碰撞后它们都获得了速度v，设飞船给这部分稀薄空气颗粒的平均作用力大小为F，根据动量定理有： $F Δ t = Δ m v$

根据万有引力定律和牛顿第二定律有： $\frac{G M m}{R^{2}} = m \frac{v^{2}}{R}$ ，解得： $F = \frac{ρ A G M}{R}$

根据牛顿第三定律，卫星所受的阻力大小F′= $F = \frac{ρ A G M}{R}$ ．

②设卫星在R轨道运行时的速度为v₁、动能为E_k1、势能为E_p1、机械能为E₁，

根据牛顿定律和万有引力定律有： $\frac{G M m}{R^{2}} = m \frac{v_{1}^{2}}{R}$

卫星的动能 $E_{k 1} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2}$ ，势能 $E_{1 p} = - \frac{G M m}{R}$

解得： $E_{1} = - \frac{G M m}{2 R}$

卫星高度下降ΔH，在半径为（R-ΔH）轨道上运行，

同理可知其机械能 $E_{2} = - \frac{G M m}{2 (R - △ H)}$

卫星轨道高度下降ΔH，其机械能的改变量 $△ E = - \frac{G M m}{2} (\frac{1}{2 (R - △ H)} - \frac{1}{R})$

卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功．设卫星在沿半径为R的轨道运行一周过程中稀薄空气颗粒作用于卫星的阻力做的功为W₀，利用小量累积的方法可知：

上式表明卫星在绕不同轨道运行一周，稀薄空气颗粒所施加的阻力做的功是一恒量，与轨道半径无关．

则ΔE=nW₀

解得： $n = \frac{m △ H}{4 π ρ A (R - △ H)} 或 \frac{m}{4 π ρ A} (\frac{1}{R - △ H} - \frac{1}{R})$

挑战高考压轴题专题五：万有引力定律的估算、行星模型