解：如图，过点A作

A E ⊥ B C

于点E，

则 $B C = 2 B E$ ，

在 $R t △ A B E$ 中， $B E = A B \cdot \cos B = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} (c m)$ ，

$∴ B C = 8 \sqrt{3} c m$ ，

由题意得： $A P = t c m ， B Q = \sqrt{3} t c m ， B P = A B - A P = (8 - t) c m$ ，

①如图，当圆 $O$ 与AB相切时，

则 $P Q ⊥ A B$ ，

在 $R t △ B P Q$ 中， $\cos B = \frac{B P}{B Q}$ ，即 $\frac{8 - t}{\sqrt{3} t} = \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

解得 $t = \frac{16}{5}$ ，

经检验， $t = \frac{16}{5}$ 是所列分式方程的解；

②如图，当圆 $O$ 与BC相切时，

则 $P Q ⊥ B C$ ，

在 $R t △ B P Q$ 中， $\cos B = \frac{B Q}{B P}$ ，即 $\frac{\sqrt{3} t}{8 - t} = \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

解得 $t = \frac{8}{3}$ ，

经检验， $t = \frac{8}{3}$ 是所列分式方程的解；

③当圆 $O$ 与AC相切时，

如图，设圆 $O$ 与AC相切于点F，连接OF，过点P作 $P G ⊥ B C$ 于点G，作 $P M ⊥ A C$ ，交CA延长线于点M，过点Q作 $Q N ⊥ A C$ 于点N，

则 $O F ⊥ A C ， O F = \frac{1}{2} P Q$ ，

$∴ P M // O F // Q N$ ，

$∵$ 点O是PQ的中点，

$∴ O F = \frac{1}{2} (P M + Q N)$ ，

$∴ P M + Q N = P Q$ ，

$∵ ∠ B A C = 120 °$ ，

$∴ ∠ P A M = 180 ° - ∠ B A C = 60 °$ ，

在 $R t △ A M P$ 中， $\sin ∠ P A M = \frac{P M}{A P}$ ，即 $\frac{P M}{t} = \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

解得 $P M = \frac{\sqrt{3}}{2} t (c m)$ ，

$∵ B C = 8 \sqrt{3} c m ， B Q = \sqrt{3} t c m$ ，

$∴ C Q = B C - B Q = (8 \sqrt{3} - \sqrt{3} t) c m$ ，

在 $R t △ C N Q$ 中， $\sin C = \frac{Q N}{C Q}$ ，即 $\frac{Q N}{8 \sqrt{3} - \sqrt{3} t} = \sin 30 ° = \frac{1}{2}$ ，

解得 $Q N = \frac{8 \sqrt{3} - \sqrt{3} t}{2} (c m)$ ，

在 $R t △ B G P$ 中， $P G = \frac{1}{2} B P = \frac{8 - t}{2} c m ， B G = \sqrt{B P^{2} - P G^{2}} = \frac{\sqrt{3} (8 - t)}{2} c m$ ，

$∴ G Q = B Q - B G = \frac{\sqrt{3} (3 t - 8)}{2} c m$ ，

在 $R t △ P G Q$ 中， $P Q = \sqrt{P G^{2} + G Q^{2}} = \sqrt{7 t^{2} - 40 t + 64} c m$ ，

则由 $P M + Q N = P Q$ 得： $\frac{\sqrt{3}}{2} t + \frac{8 \sqrt{3} - \sqrt{3} t}{2} = \sqrt{7 t^{2} - 40 t + 64}$ ，

解得 $t = \frac{20 \pm 12 \sqrt{2}}{7}$ ；

综上，当圆 $O$ 与AB相切时， $t = \frac{16}{5}$ ；当圆 $O$ 与BC相切时， $t = \frac{8}{3}$ ；当圆 $O$ 与AC相切时， $t = \frac{20 \pm 12 \sqrt{2}}{7}$ .

浙教版备考2021年中考数学一轮复习专题28——直线与圆的位置关系