y = - x^{2} - 2 x + 3 = - {(x + 1)}^{2} + 4

抛物线的对称轴是直线 $x = - 1$

$M (x ， 0)$ ， $P (x ， - x^{2} - 2 x + 3)$ ，其中 $- 3 < x < - 1$

∵P、Q关于直线 $x = - 1$ 对称

设Q的横坐标为a

则 $a - (- 1) = - 1 - x$

∴ $a = - 2 - x$

∴ $Q (- 2 - x ， - x^{2} - 2 x + 3)$

∴ $M P = - x^{2} - 2 x + 3$ ， $P Q = - 2 - x - x = - 2 - 2 x$

∴周长 $d = 2 (- 2 - 2 x - x^{2} - 2 x + 3) = - 2 x^{2} - 8 x + 2 = - 2 {(x + 2)}^{2} + 10$

当 $x = - 2$ 时，d取最大值，此时， $M (- 2 ， 0)$

∴ $A M = - 2 - (- 3) = 1$

设直线 $A C$ 的解析式为 $y = k x + b$

则 ${\begin{array}{l} - 3 k + b = 0 \\ b = 3 \end{array}$ ，解得 ${\begin{array}{l} k = 1 \\ b = 3 \end{array}$

∴设直线 $A C$ 的解析式为 $y = x + 3$

将 $x = - 2$ 代入 $y = x + 3$ ，得 $y = 1$

∴ $E (- 2 ， 1)$ ，

∴ $E M = 1$

∴ $S_{Δ A E M} = \frac{1}{2} A M \cdot M E = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$

湘教版备考2021年中考数学二轮复习专题23二次函数