解：存在.

如图设T( $x_{1}$ ， $y_{1}$ )，Q( $x_{2}$ ， $y_{2}$ )，分别过T、Q作TF⊥y轴，QG⊥x轴，

联立 ${\begin{matrix} y = - x^{2} + 2 x + 3 \\ y = m x + 2 \end{matrix}$ ，

整理得 $x^{2} + (m - 2) x - 1 = 0$ ，

∴ $x_{1} + x_{2} = 2 - m$ ， $x_{1} x_{2} = - 1$ ，

当以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点时，∠TOQ=90°，

∴∠TOF+∠FOQ=∠FOQ+∠QOB=90°，

∴∠TOF=∠QOB，而∠TFO=∠QGO=90°，

∴△TOF∽△QOG，

∴ $\frac{T F}{Q G} = \frac{O F}{O G}$ ，即 $\frac{- x_{1}}{y_{2}} = \frac{y_{1}}{x_{2}}$ ，

∴ $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ ，即 $- 1 + (m x_{1} + 2) (m x_{2} + 2) = 0$ ，

整理得： $- 1 + m^{2} x_{1} x_{2} + 2 m (x_{1} + x_{2}) + 4 = 0$ ，

∴ $- 1 - m^{2} + 2 m (2 - m) + 4 = 0$ ，整理，得 $3 m^{2} - 4 m - 3 = 0$ ，

解得 $m = \frac{4 \pm 2 \sqrt{13}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{13}}{3}$ ，

故存在实数 $m = \frac{2 \pm \sqrt{13}}{3}$ 使以线段TQ为直径的圆过坐标原点.

四川省遂宁市蓬溪县2020届九年级下学期数学期中考试试卷