解：

∵抛物线解析式为 $y = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{5}{6} x - 4$ ，

∴抛物线的对称轴为直线 $x = - \frac{- \frac{5}{6}}{2 \times \frac{1}{6}} = \frac{5}{2}$ .

设点P的坐标为（ $\frac{5}{2}$ ，m），

∵点B的坐标为（0，﹣4），点D的坐标为（2，0），

∴BP²＝（ $\frac{5}{2}$ ﹣0）²+[m﹣（﹣4）]²＝m²+8m+ $\frac{89}{4}$ ，

DP²＝（ $\frac{5}{2}$ ﹣2）²+（m﹣0）²＝m²+ $\frac{1}{4}$ ，

BD²＝（2﹣0）²+[0﹣（﹣4）]²＝20.

∵△BPD是以BD为斜边的直角三角形，

∴BP²+DP²＝BD²，即m²+8m+ $\frac{89}{4}$ +m²+ $\frac{1}{4}$ ＝20，

整理，得：4m²+16m+5＝0，

解得： $m_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{11}}{2}$ ， $m_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{11}}{2}$ ，

∴抛物线的对称轴上存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形，点P的坐标为（ $\frac{5}{2}$ ， $\frac{- 4 - \sqrt{11}}{2}$ ）或（ $\frac{5}{2}$ ， $\frac{- 4 + \sqrt{11}}{2}$ ）.

河南省2021届九年级上学期数学期末考试试卷（A）