证明：如图所示：

取 $A A_{1}$ 的中点 $F$ ，连接 $D F$ ， $E F$ ，

因为 $E$ 为的中点，

所以 $E F / / A B$ ，又 $A B \subset$ 平面 $A B C_{1}$ ， $E F ⊄$ 平面 $A B C_{1}$ ，

所以 $E F / /$ 平面 $A B C_{1}$ ；

同理 $D F / /$ 平面 $A B C_{1}$ ，

又 $D F \cap E F = F$ ，

所以平面 $D E F //$ 平面 $A B C_{1}$ ，

又 $D E \subset$ 平面 $D E F$ ，

所以 $D E //$ 平面 $A B C_{1}$ .

因为侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为菱形， $B B_{1} = C C_{1} = B_{1} C_{1} = B C = 2 ， B_{1} C ⊥ B C_{1}$ ，

所以 $B C_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $B G = \sqrt{3}$ ，则 $B_{1} G = \sqrt{B B_{1} - B C_{1}^{2}} = 1$ ， $B_{1} C = 2 B_{1} G = 2$ ，

又 $A_{1} C = 2 \sqrt{2}$ ，

所以在 $△ A_{1} B_{1} C$ 中， $A_{1} C^{2} = A_{1} B_{1}^{2} + B_{1} C^{2}$ ，

所以 $A_{1} B_{1} ⊥ B_{1} C$ ，因为 $A_{1} B_{1} / / A B$ ，

所以 $B_{1} C ⊥ A B$ ，

又 $B_{1} C ⊥ B C_{1}$ ，且 $A B \cap B C_{1} = B$ ，

所以 $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$

内蒙古包头市2021届高三文数第一次模拟考试试卷