解：过

D

作

D F ⊥ B C

于

F

，

因为 $△ C D E$ 为等腰直角三角形，且 $C E = 2$ ，所以 $D F = \frac{1}{2} C E = 1$ ，

因为 $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，所以 $D F$ ∥ $A C$ ，

所以 $\frac{D F}{A C} = \frac{B F}{B C}$ ，即 $\frac{1}{A C} = \frac{2}{3}$ ，得 $A C = \frac{3}{2}$ ，

因为 $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，

所以 $C A ， C B ， C P$ 两两垂直，所以以 $C$ 为原点，分别以 $C A ， C B ， C P$ 所在直线为 $x$ 轴， $y$ 轴， $z$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 $C (0 ， 0 ， 0) ， A (\frac{3}{2} ， 0 ， 0) ， D (1 ， 1 ， 0) ， E (0 ， 2 ， 0) ， P (0 ， 0 ， 2)$ ，

所以 $\vec{D E} = (- 1 ， 1 ， 0) ， \vec{D P} = (- 1 ， - 1 ， 2) ， \vec{D A} = (\frac{1}{2} ， - 1 ， 0)$ ，

设平面 $P A D$ 的法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，则

${\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{D P} = - x - y + 2 z = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{D A} = \frac{1}{2} x - y = 0 \end{cases}$ ，令 $x = 2$ ，则 $y = 1 ， z = \frac{3}{2}$ ，所以 $\vec{n} = (2 ， 1 ， \frac{3}{2})$ ，

由（1）可知 $D E ⊥$ 平面 $P C D$ ，所以 $\vec{D E} = (- 1 ， 1 ， 0)$ 是平面 $P C D$ 的一个法向量，

设锐二面角 $A - P D - C$ 的平面角为 $θ$ ，则

$\cos θ = | \cos 〈 \vec{n} ， \vec{D E} 〉 | = | \frac{- 2 + 1 + 0}{\sqrt{4 + 1 + \frac{9}{4}} \cdot \sqrt{1 + 1}} | = \frac{\sqrt{58}}{29}$

所以锐二面角 $A - P D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{58}}{29}$

江西省八所重点中学2021届高三理数4月联考试卷