解：①

E M + F N = A B

，理由如下：

同探究问题的方法可证： $E M = A D ， F N = B D$ ，

$∴ A B = A D + B D = E M + F N$ ，

即 $E M + F N = A B$ ；

②如图，过点C作 $C D ⊥ l$ 于点D，

同探究问题的方法可证： $△ A C D ≅ △ E A M ， △ B C D ≅ △ F B N$ ，

$∴ S_{△ A C D} = S_{△ E A M} ， S_{△ B C D} = S_{△ F B N}$ ，

$∵ △ A C E$ 和 $△ B C F$ 都是等腰直角三角形，且 $A C = 3 ， B C = 4$ ，

$∴ A E = A C = 3 ， B F = B C = 4$ ，

$∴ S_{△ A C E} = \frac{1}{2} A C \cdot A E = \frac{9}{2} ， S_{△ B C F} = \frac{1}{2} B C \cdot B F = 8$ ，

$∴$ 五边形EMNFC面积为 $S_{△ E A M} + S_{△ A C E} + S_{△ A C D} + S_{△ B C D} + S_{△ B C F} + S_{△ F B N}$ ，

$= S_{△ A C D} + \frac{9}{2} + S_{△ A C D} + S_{△ B C D} + 8 + S_{△ B C D}$ ，

$= 2 (S_{△ A C D} + S_{△ B C D}) + \frac{25}{2}$ ，

$= 2 S_{△ A B C} + \frac{25}{2}$ ，

则当 $△ A B C$ 面积取得最大值时，五边形EMNFC面积最大，

设 $△ A B C$ 的BC边上的高为 $h$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot h = 2 h$ ，

$∵$ 在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B$ 、 $∠ C B A$ 均为锐角，

$∴$ 当 $∠ A C B = 90 °$ 时， $h$ 取得最大值，最大值为 $A C = 3$ ，

$∴ △ A B C$ 面积的最大值为 $S_{△ A B C} = 2 \times 3 = 6$ ，

则五边形EMNFC面积的最大值为 $2 \times 6 + \frac{25}{2} = \frac{49}{2}$ ，

故答案为： $\frac{49}{2}$ ．

山西省晋中市寿阳县2019-2020学年七年级下学期数学期末试卷