解：①如图2

图2

由（1）知抛物线的解析式为： $y = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} x$

即对称轴为 $x = 2 \sqrt{3}$ ，顶点为Q（ $2 \sqrt{3}$ ，4）.

设抛物线与 $x$ 轴的另一个交点为D，令 $y = 0$ ，得， $x^{2} - 4 \sqrt{3} x = 0$ ，

解得 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 4 \sqrt{3}$ ，

即点D的坐标为（ $4 \sqrt{3}$ ，0），

∵点A的坐标为（ $2 \sqrt{3}$ ，0），对称轴为 $x = 2 \sqrt{3}$ ，且AG⊥BC，

∴直线AG为抛物线的对称轴.

∵B、C两点关于直线AG对称，

∴当OP+PC最小时，

由对称性可知，OP+PC=OB.

即OB，AG的交点为点P，

∵∠AOC=60°，OB为菱形OABC的对角线，

∴∠AOB=30°，

∴AP=OAtan30°= $2 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 2$ ，

∴点P的坐标为（ $2 \sqrt{3}$ ，2）.

②如图3所示，连接OB，CD，CQ，BQ

图3

由①知直线AG为抛物线的对称轴，

则四边形ODBC是关于AG成轴对称的图形.

∵点E是OB中点，点F是AB的中点，点P在抛物线的对称轴上，

∴PE=PF，EF∥OD，CQ=BQ

∠PEF=∠BOA=30°，

即△PEF是底角为30°的等腰三角形.

在△OBC、△BCD中，

OC=BC=BD= $2 \sqrt{3}$ ，∠BOC=∠BDC=30°，

∴△OBC∽△BCD∽△PEF，

∴符合条件的点的坐标为（0，0），（ $4 \sqrt{3}$ ，0）.

又∵AQ=4，AG=3，BC= $2 \sqrt{3}$ ，

∴GQ=1，BG= $\sqrt{3}$ ，

∴tan∠GBQ= $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

即∠GBQ=30°，

△BQC也是底角为30°的等腰三角形，

∴Q点的（ $2 \sqrt{3}$ ，4），

∴符合条件的点M的坐标为（0，0），（ $4 \sqrt{3}$ ，0），（ $2 \sqrt{3}$ ，4）.

四川省达州市开江县2021年数学中考适应性试卷（一）