解：存在，理由如下：

由平移的性质可知，平移后得到的新抛物线为 $y = - x^{2} - 2 x + 2$ ，

令 $x = 0$ ，得到 $y = 2$ ，

∴ $M (0 ， 2)$ ，

∴OM=2；

因为对称轴为 $x = - \frac{- 2}{2 \times (- 1)} = - 1$ ，

∴ $N (- 1 ， 0)$ ，

∴ON=1；

∴ $M N = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$ ，

∵ $S_{Δ O M N} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2=1$ ，

∴MN边上的高为 $\frac{1 \times 2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5} \sqrt{5}$ ，

由∠MON=90°，且以点N、Q、R为顶点的三角形与 $Δ O M N$ 全等，

∴点Q、N、R中必有一个点是直角顶点.

当Q点是直角顶点时，则NR是斜边，

∴ $N R = \sqrt{5}$ ， $N R$ 边上的高为 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$ ，即Q点到NR的距离为 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$ ，

∴Q点横坐标为 $- 1 + \frac{2}{5} \sqrt{5}$ 或 $- 1 - \frac{2}{5} \sqrt{5}$ ，

当 $x = - 1 + \frac{2}{5} \sqrt{5}$ 时，

$y = - {(- 1 + \frac{2}{5} \sqrt{5})}^{2} - 2 (- 1 + \frac{2}{5} \sqrt{5}) + 2 = \frac{11}{5}$

所以 $Q (- 1 + \frac{2}{5} \sqrt{5} ， \frac{11}{5})$ ，

此时 $Q N = \sqrt{{(- 1 + \frac{2}{5} \sqrt{5} + 1)}^{2} + {(\frac{11}{5} - 0)}^{2}} = \frac{\sqrt{141}}{5}$ ，

则 $Q N \neq 1$ 或 $2$

∴该情况不成立；

当 $x = - 1 - \frac{2}{5} \sqrt{5}$ 时，由抛物线关于直线l对称可知，

此时 $Q N = \frac{\sqrt{141}}{5} \neq 1$ 或 $2$ ，

所以该情况也不成立；

即Q不可能是直角顶点.

当N点是直角顶点时，

则点Q在抛物线与x轴的交点处，

令y=0，则 $- x^{2} - 2 x + 2 = 0$ ，

∴ $x_{1} = - 1 - \sqrt{3} ， x_{2} = - 1 + \sqrt{3}$ ；

此时QN= $\sqrt{3} \neq 1$ 或 $2$ ，

∴该情况不成立；

当点R是直角顶点时

则RN=1或2，

当RN=1时，那么RQ=2，

∴Q点横坐标为 $- 3$ 或 $1$ ，

将它们分别代入抛物线解析式中可得

$Q (- 3 ， - 1)$ 或 $Q (1 ， - 1)$

经检验，符合题意；

当RN=2时，那么RQ=1，

∴Q点横坐标为 $- 2$ 或 $0$ ，

将它们分别代入抛物线解析式中可得：

$Q (- 2 ， 2)$ 或 $Q (0 ， 2)$

经检验，符合题意；

它们在坐标系中的位置如下图所示，

综上所述：存在， $Q (- 3 ， - 1)$ 或 $Q (1 ， - 1)$ 或 $Q (- 2 ， 2)$ 或 $Q (0 ， 2)$ .

陕西省2021年初中学业水平考试数学中考二模试卷