解：①如图，在GE上取一点M，使∠GFM=∠HFE，

∵∠FGM=∠FHE（同弧所对的圆周角相等），

∴ $Δ F G M$ ∽ $Δ F H E$

∴ $\frac{F G}{F H} = \frac{G M}{H E}$

∴ $F G \cdot H E = F H \cdot G M$ ，

∵∠GFM=∠HFE，

∴∠GFH=∠MFE，

又∵∠GHF=∠MEF，

∴ $Δ G H F$ ∽ $Δ M E F$ ，

∴ $\frac{G H}{M E} = \frac{H F}{F E}$ ，

∴ $G H \cdot F E = F H \cdot M E$ ，

∴ $G H \cdot F E + F G \cdot H E = F H \cdot M E + F H \cdot G M = F H \cdot (M E + G M) = F H \cdot G E$

∴四边形EFGH为“完美四边形”.

②存在；

理由：如下面图①，∵GE是直径，

∴∠EFG=90°，

∴ $G E = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ ， $Δ G E F$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 6 \times 8=24$

∴要使四边形GFEH面积最大，则只需 $Δ G E H$ 面积最大，

作HN⊥GE，垂足为N，

则HN的值最大时， $Δ G E H$ 面积就最大，

因为H点到直径DE的垂线段的长最大为半径，即垂足N点在原点时最大；

如下面图②，当O点与N点重合时，

由GE是直径，

∴∠GHE=90°，

∵HN垂直平分GE，

∴HG=HE，

∵ $G E^{2} = G H^{2} + H E^{2}$

∴ $H G = H E = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$ ；

由它是“完美四边形”，

∴ $10 F H = 6 \times 5 \sqrt{2} + 8 \times 5 \sqrt{2}$

∴ $F H = 7 \sqrt{2}$ ，

∴存在，当 $F H = 7 \sqrt{2}$ 时，面积最大.

江西省2021年数学中考示范试卷（一）