证明：方法一：

连接 $A_{1} E$ ， $∵ A_{1} A = A_{1} C$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点，

$∴ A_{1} E ⊥ A C$ ，

又平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A_{1} E \subset$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ，

平面 $A_{1} A C C_{1} \cap$ 平面 $A B C = A C$ ，

$∴ A_{1} E ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∴ A_{1} E ⊥ B C$ ，

$∵ A_{1} F / / A B$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∴ B C ⊥ A_{1} F$ ，

$∵ A_{1} F \cap A_{1} E = A_{1}$ ， $∴ B C ⊥$ 平面 $A_{1} E F$ ，

$∴ E F ⊥ B C$ .

方法二：连接 $A_{1} E$ ， $∵ A_{1} A = A_{1} C$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点，

$∴ A_{1} E ⊥ A C$ ，

又平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A_{1} E \subset$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ，

平面 $A_{1} A C C_{1} \cap$ 平面 $A B C = A C$ ，

$∴ A_{1} E ⊥$ 平面 $A B C$ ，

如图，以 $E$ 为原点，在平面 $A B C$ 中，过 $E$ 作 $A C$ 的垂线为 $x$ 轴，

$E C$ ， $E A_{1}$ 所在直线分别为 $y$ ， $z$ 轴，建立空间直角坐标系，

设 $A C = 4$ ，则 $A_{1} (0$ ，0， $2 \sqrt{3})$ ， $B (\sqrt{3} ， 1 ， 0)$ ， $B_{1} (\sqrt{3} ， 3 ， 2 \sqrt{3})$ ， $F (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2} ， 2 \sqrt{3})$ ， $C (0$ ，2， $0)$ ，

$\vec{E F} = (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2} ， 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{B C} = (- \sqrt{3} ， 1 ， 0)$ ，

由 $\vec{E F} \cdot \vec{B C} = 0$ ，得 $E F ⊥ B C$ .

天津市河西区2021届高三下学期数学总复习质量调查试卷（一）