解：①α＋β＝180°，

理由：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC.

即∠BAD＝∠CAE.

在△ABD与△ACE中，

${\begin{array}{l} A B ＝ A C \\ ∠ B A D ＝ ∠ C A E \\ A D ＝ A E \end{array}$ ，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B＝∠ACE.

∴∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB.

∵∠ACE＋∠ACB＝β，

∴∠B＋∠ACB＝β，

∵α＋∠B＋∠ACB＝180°，

∴α＋β＝180°；

②如图1：当点D在射线BC上时，α＋β＝180°，

连接CE，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

${\begin{array}{l} A B ＝ A C \\ ∠ B A D ＝ ∠ C A E \\ A D ＝ A E \end{array}$ ，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，

∴∠BAC＋∠ACE＋∠ACB＝∠BAC＋∠BCE＝180°，

即：∠BCE＋∠BAC＝180°，

∴α＋β＝180°，

如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β.

连接BE，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB＋∠BCE，

∴∠ABD＋∠ABC＝∠ACE＋∠ABC＝∠ACB＋∠BCE＋∠ABC＝180°，

∵∠BAC＝180°−∠ABC−∠ACB，

∴∠BAC＝∠BCE.

∴α＝β；

综上所述：点D在直线BC上移动，α＋β＝180°或α＝β.

湖南省常德市汉寿县2020-2021学年八年级上学期数学期末考试试卷