AP的长为2.

①若点E在线段DC上，如图1.

∵ $∠ B P E = ∠ B C E = 90 °$ ，∴ $∠ P B C + ∠ P E C = 180 °$ .

∵ $∠ P B C < 90 °$ ，∴ $∠ P E C > 90 °$ .

若 $Δ P E C$ 为等腰三角形，则 $E P = E C$ .

∴ $∠ E P C = ∠ E C P = 45 °$ ，

∴ $∠ P E C = 90 °$ ，与 $∠ P E C > 90 °$ 矛盾，

∴当点E在线段DC上时， $Δ P E C$ 不可能是等腰三角形.

②若点E在线段DC的延长线上，如图4.

若 $Δ P E C$ 是等腰三角形，

∵ $∠ P C E = 135 °$ ，

∴ $C P = C E$ ，

∴ $∠ C P E = ∠ C E P = 22.5 °$ .

∴ $∠ A P B = 180 ° - 90 ° - 22.5 ° = 67.5 °$ .

∵ $∠ P R C = 90 ° + ∠ P B R = 90 ° + ∠ C E R$ ，

∴ $∠ P B R = ∠ C E R = 22.5 °$ ，

∴ $∠ A B P = 67.5 °$ ，

∴ $∠ A B P = ∠ A P B$ .

∴ $A P = A B = 2$ .

∴AP的长为2.

河南省信阳市潢川县2018-2019学年八年级下学期数学期末考试试卷