解：连OD，OC交BD于H，

∵BC=CD，OB=OD，

∴OC垂直平分BD，

∴∠ABD+∠BOH=∠BCO+∠BOH=90°，

∴∠ABD=∠BCO，

∵Rt△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=BC，

又∵ $O B = \frac{1}{2} A B$ ，

∴ $O B = \frac{1}{2} B C$ ，

∴ $\tan ∠ A B D = \tan ∠ B C O = \frac{O B}{B C} = \frac{1}{2}$ ，

设 $O H = x$ ，则 $B H = 2 x = D H$ ， $C H = 2 B H = 4 x$ ， $A D = \frac{1}{2} B D = 2 x$ ，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD∥CH，

∴ $\frac{D P}{P H} = \frac{A D}{C H} = \frac{1}{2}$ ，

∴ $P H = \frac{2}{3} D H = \frac{4}{3} x$ ，

在Rt△PHC中，由勾股定理得： $P C = \sqrt{{(4 x)}^{2} + {(\frac{4}{3} x)}^{2}} = \frac{4 \sqrt{10}}{3} x$ ，

∴ $\cos ∠ B P C = \frac{P H}{P C} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

湖北省武汉市一初慧泉中学2021届九年级下学期数学3月月考试卷