解：建立如图的空间直角坐标系

A - x y z

，

则 $A (0 ， 0 ， 0) ， C (2 ， 2 ， 0) ， E (0 ， 1 ， 1) ， B (2 ， 0 ， 0)$ ，

设 $\overset{⇀}{m} = (x ， y ， z)$ 为平面 $A B E$ 的一个法向量，

又 $\overset{⇀}{A E} = (0 ， 1 ， 1) ， \overset{⇀}{A B} = (2 ， 0 ， 0)$ ，

∴ ${\begin{matrix} y + z = 0 \\ 2 x = 0 \end{matrix}$

令 $y = - 1 ， z = 1$ ，

得 $\overset{⇀}{m} = (0 ， - 1 ， 1)$ .

同理 $\overset{⇀}{n} = (1 ， 0 ， 2)$ 是平面 $B C E$ 的一个法向量，

则 $cos \overset{⇀}{m} ， \overset{⇀}{n} = \frac{\overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{n}}{| \overset{⇀}{m} | | \overset{⇀}{n} |} = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

∴二面角 $A - B E - C$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

湖北省部分重点中学2020-2021学年高二下学期数学3月联考试卷