解：如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F，

∴四边形CEDF为矩形.

∵ $\frac{A C}{B C} = 2$ ，

∴AC=2BC.

在Rt△ABC中， $A B = \sqrt{5}$ ，

根据勾股定理得，AC²+BC²=AB²，即(2BC)²+BC²=5，

∴AC=2，BC=1.

∵四边形ACBD为垂等四边形，

∴ $A B = C D = \sqrt{5}$ .

第一种情况：

当△ACB∽△BED时，

$\frac{A C}{B C} = \frac{B E}{D E} = 2$ ，

设DE=x，则BE=2x，

∴CE=1+2x.

在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE²+DE²=CD²，

即(1+2x)²+x²=5，

解得 $x_{1} = \frac{2 \sqrt{6} - 2}{5}$ ， $x_{2} = \frac{- 2 \sqrt{6} - 2}{5}$ （舍去），

∴ $D E = \frac{2 \sqrt{6} - 2}{5}$ ， $C E = D F = 1 + 2 x = \frac{4 \sqrt{6} + 1}{5}$ ，

∴S_四边形_ACBD=S_△_ACD+S_△_DCB= $\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{4 \sqrt{6} + 1}{5} + \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{2 \sqrt{6} - 2}{5} = \sqrt{6}$ ；

第二种情况：

当△ACB∽△DEB时，

$\frac{A C}{B C} = \frac{D E}{B E} = 2$ ，

设BE=y，则DE=2y，

∴CE=1+y.

在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE²+DE²=CD²，

即(1+y)²+(2y)²=5，

解得 $y_{1} = \frac{\sqrt{21} - 1}{5}$ ， $y_{2} = \frac{- \sqrt{21} - 1}{5}$ （舍去），

∴ $C E = D F = 1 + y = \frac{\sqrt{21} + 4}{5}$ ， $D E = 2 y = \frac{2 \sqrt{21} - 2}{5}$ ，

∴S_四边形_ACBD=S_△_ACD+S_△_DCB= $\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{21} + 4}{5} + \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{2 \sqrt{21} - 2}{5} = \frac{2 \sqrt{21} + 3}{5}$ .

综上所述，四边形ACBD的面积为 $\sqrt{6}$ 或 $\frac{2 \sqrt{21} + 3}{5}$ .

浙江省宁波市鄞州区七校2021届九年级下学期数学第一次月考联考试卷