解：①如图，线段

A B

在直线

y = x + 2

上，

平移之后与圆相交，得到的弦为 $A^{'} B^{'} ， A^{'} B^{'} / / A B$ ，

过点O作 $O H ⊥ A B$ 于点H，交弦 $A^{'} B^{'}$ 于点 $P ，$

则 $O P ⊥ A^{'} B^{'}$ ，

设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D．

令 $y = 0$ ，可知直线与x轴交点C的坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，

∵直线与x轴夹角为 $45 °$ ，

∴ $O H = \sqrt{2}$ ，

由垂径定理得： $A^{'} P = B^{'} P = \frac{1}{2} A^{'} B^{'} = \frac{1}{2} A B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

在 $R t △ A^{'} O P$ 中， $O P = \sqrt{A^{'} O^{2} - A^{'} P^{2}} = \sqrt{1^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}} = \frac{1}{2}$

∴ $d_{1} = O H - O P = \sqrt{2} - \frac{1}{2}$ ．

②假设存在这样的点 $B (a ， a^{2} + 4)$ 满足要求，如图

∴A点坐标为 $(a ， a + 2)$ ，

∵ $A B = \sqrt{3}$

∴ $a^{2} + 4 - a - 2 = \sqrt{3}$ ，

∴ $a^{2} - a + 2 - \sqrt{3} = 0$

∵ $Δ = {(- 1)}^{2} - 4 \times 1 \times (2 - \sqrt{3}) = 4 \sqrt{3} - 7 < 0$ ，

所以 $a^{2} - a + 2 - \sqrt{3} = 0$ 无解，

故不存在．

浙江省宁波市北仑区2021届九年级上学期数学期末考试试卷