解：∵点A与点B关于对称轴

x = 1

对称，

∴连接 $B H$ 与直线 $x = 1$ 交点即为 $F$ 点.

∵点H的坐标为 $(0 ， \frac{45}{8})$ ，点B的坐标为 $(3 ， 0)$ ，

∴直线 $B H$ 的解析式为： $y = - \frac{15}{8} x + \frac{45}{8}$ .

令 $x = 1$ ，则 $y = \frac{15}{4}$ .

当点F的坐标为 $(1 ， \frac{15}{4})$ 时， $H F + A F$ 的值最小.

设抛物线上存在一点 $K (x_{0} ， y_{0})$ ，使得 $F K + F G$ 的值最小.

则由勾股定理可得： $K F^{2} = {(x_{0} - 1)}^{2} + {(y_{0} - \frac{15}{4})}^{2}$ .

又∵点K在抛物线上，

∴ $y_{0} = - {(x_{0} - 1)}^{2} + 4$ ，

∴ ${(x_{0} - 1)}^{2} = 4 - y_{0}$ 代入上式中，

∴ $K F^{2} = (4 - y_{0}) + {(y_{0} - \frac{15}{4})}^{2} = {(y_{0} - \frac{17}{4})}^{2}$ ，

∴ $K F = | y_{0} - \frac{17}{4} |$ .

如图，过点K作直线 $S K$ ，使 $S K / / y$ 轴，且点S的纵坐标为 $\frac{17}{4}$ .

∴点S的坐标为 $(x_{0} ， \frac{17}{4})$ .

则 $S K = | y_{0} - \frac{17}{4} |$ .

∵ $y_{0} < \frac{17}{4}$ ，

∴ $| y_{0} - \frac{17}{4} | = \frac{17}{4} - y_{0}$ ，

∴ $K F = S K$ .

∴ $K F + K G = S K + K G$ .

当且仅当S，K，G三点在一条直线上，且该直线干行于y轴， $F K + F G$ 的值最小.

又∵点G的坐标为 $(2 ， 0)$ ，

∴ $x_{0} = 2$ ，将其代入抛物线解析式中可得： $y_{0} = 3$ .

∴当点K的坐标为 $(2 ， 3)$ 时， $K F + K G$ 最小.

江苏省连云港市海州区2021届九年级上学期数学期末考试试