解：如下图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EG⊥CD于G，设BD=a，则CD=3a，BC=4a，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴AH=HB=HC=2a，DH=a，∠C=∠B=45°，

∵∠AHD=∠ADE=∠DGE=90°，

∴∠ADH+∠EDG=90°，∠EDG+∠DEG=90°，

∴∠ADH=∠DEG，

∴△ADH∽△DEG，设EG=CG=y，则DG=3a+y，

∴ $\frac{AH}{DG}$ = $\frac{D H}{E G}$ ，

∴ $\frac{2 a}{3 a + y}$ = $\frac{a}{y}$ ，

解得y=3a，

∴CG=EG=3a，EC= $\sqrt{C G^{2} + G E^{2}} = 3 \sqrt{2} a$ ，

∵AB= $\sqrt{A H^{2} + B H^{2}} =2 \sqrt{2} a$ ，

∵CF= $\frac{B D \cdot C D}{A B}$ = $\frac{3 a^{2}}{2 \sqrt{2} a} = \frac{3 \sqrt{2}}{4} a$ ，

∴AF=AC﹣CF= $2 \sqrt{2} a - \frac{3 \sqrt{2} a}{4} = \frac{5 \sqrt{2} a}{4}$ ，EF=CF+CE= $\frac{3 \sqrt{2}}{4} a + 3 \sqrt{2} a = \frac{15 \sqrt{2}}{4} a$ ，

∴ $\frac{A F}{E F}$ = $\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{4} a}{\frac{15 \sqrt{2}}{4} a} = \frac{1}{3}$

湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2021届九年级上学期数学期末考试试卷