解：连接O₁B，O₁P，

∵AB切⊙O₁于B，∠POB=30°，

∴∠ABP=30°，

∴∠O₁BP=90°﹣30°=60°，

∵O₁B=O₁P，

∴△O₁BP为等边三角形，

∴O₁B=BP，

∵P为弧BO的中点，

∴BP=OP，

即△O₁PO为等边三角形，

∴O₁P=OP=a，

∴∠O₁OP=60°，

又∵P为弧BO的中点，

∴O₁P⊥OB，

在△O₁DO中，∵∠O₁OP=60°O₁O=a，

∴O₁D= $\frac{1}{2}$ a，OD= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a，

过D作DM⊥OO₁于M，∴DM= $\frac{1}{2}$ OD= $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a，

OM= $\sqrt{3}$ DM= $\frac{3}{4}$ a，

∴D（﹣ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a， $\frac{3}{4}$ a），

∵∠O₁OF=90°，∠O₁OP=60°

∴∠POF=30°，

∵PE⊥OA，

∴PF= $\frac{1}{2}$ OP= $\frac{1}{2}$ a，OF= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a，

∴P（﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a， $\frac{a}{2}$ ），F（﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a，0），

∵AB切⊙O₁于B，∠POB=30°，

∴∠ABP=∠BOP=30°，

∵PE⊥AB，PB=a，

∴∠EPB=60°

∴PE= $\frac{1}{2}$ a，BE= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a，

∵P为弧BO的中点，

∴BP=PO，

∴∠PBO=∠BOP=30°，

∴∠BPO=120°，

∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，

即OPE三点共线，

∵OE= $\frac{1}{2}$ a+a= $\frac{3}{2}$ a，

过E作EM⊥x轴于M，

∵AO切⊙O₁于O，

∴∠EOA=30°，

∴EM= $\frac{1}{2}$ OE= $\frac{3}{4}$ a，OM= $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ a，

∴E（﹣ $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ a， $\frac{3}{4}$ a），

∵E（﹣ $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ a， $\frac{3}{4}$ a），D（﹣ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a， $\frac{3}{4}$ a），

∴DE=﹣ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a﹣（﹣ $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ a）= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a，

DE边上的高为： $\frac{3}{4}$ a，

∴S_△_DEF= $\frac{1}{2}$ × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a× $\frac{3}{4}$ a= $\frac{3 \sqrt{3}}{16}$ a²．

故答案为：D（﹣ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a， $\frac{3}{4}$ a），E（﹣ $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ a， $\frac{3}{4}$ a），F（﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a，0），P（﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a， $\frac{a}{2}$ ）；S_△_DEF= $\frac{3 \sqrt{3}}{16}$ a²．

湖北省黄冈市黄州区启黄中学2017年中考数学二模试卷