解：①由（1）知二次函数为y=

\frac{1}{2}

x²﹣

\frac{3}{2}

x﹣2

∵A（4，0），

∴B（﹣1，0），C（0，﹣2）

∴OA=4，OB=1，OC=2

∴AB=5，AC=2 $\sqrt{5}$ ，BC= $\sqrt{5}$

∴AC²+BC²=25=AB²

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°

∵AE=2t，AF= $\sqrt{5}$ t，

∴ $\frac{A F}{A E}$ = $\frac{A B}{A C}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$

又∵∠EAF=∠CAB，

∴△AEF∽△ACB

∴∠AEF=∠ACB=90°

∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；

由翻折知，DE=AE，

∴AD=2AE=4t，EF= $\frac{1}{2}$ AE=t

假设△DCF为直角三角形

当点F在线段AC上时

ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2

∴AE= $\frac{1}{2}$ AB= $\frac{5}{2}$ t= $\frac{5}{2}$ ÷2= $\frac{5}{4}$ ；

ⅱ）若D为直角顶点，如图3

∵∠CDF=90°，

∴∠ODC+∠EDF=90°

∵∠EDF=∠EAF，

∴∠OBC+∠EAF=90°

∴∠ODC=∠OBC，

∴BC=DC

∵OC⊥BD，

∴OD=OB=1

∴AD=3，

∴AE= $\frac{3}{2}$

∴t= $\frac{3}{4}$ ；

当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形

综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t= $\frac{3}{4}$ 或t= $\frac{5}{4}$ ．

②ⅰ）当0＜t≤ $\frac{5}{4}$ 时，重叠部分为△DEF，如图1、图2

∴S= $\frac{1}{2}$ ×2t×t=t²；

ⅱ）当 $\frac{5}{4}$ ＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4

过点G作GH⊥BE于H，设GH=m

则BH= $\frac{m}{2}$ ，DH=2m，∴DB= $\frac{3 m}{2}$

∵DB=AD﹣AB=4t﹣5

∴ $\frac{3 m}{2}$ =4t﹣5，

∴m= $\frac{2}{3}$ （4t﹣5）

∴S=S_△_DEF﹣S_△_DBG= $\frac{1}{2}$ ×2t×t﹣ $\frac{1}{2}$ （4t﹣5）× $\frac{2}{3}$ （4t﹣5）=﹣ $\frac{13}{3}$ t²+ $\frac{40}{3}$ t﹣ $\frac{25}{3}$ ；

ⅲ）当2＜t≤ $\frac{5}{2}$ 时，重叠部分为△BEG，如图5

∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t）

∴S= $\frac{1}{2}$ ×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t²﹣20t+25．

湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校2017年中考数学一模试卷