①答：AE=DF．

证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD

∴ $\frac{D E}{M F} = \frac{E N}{D F}$ ，即MF•EN=DE•DF．

同理△AEN∽△MFB，

∴ $\frac{A E}{M F} = \frac{E N}{B F}$ ，即MF•EN=AE•BF．

∴DE•DF=AE•BF，

∴（AD﹣AE）•DF=AE•（BD﹣DF），

∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．

证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．

∵D为AB中点，

∴DQ=PC=PB．

易证△DMF∽△NDE，∴ $\frac{D F}{N E} = \frac{D M}{D N}$ ，

易证△DMP∽△DNQ，∴ $\frac{D M}{D N} = \frac{D P}{D Q} = \frac{D P}{P B}$ ，

∴ $\frac{D F}{N E} = \frac{D P}{P B}$ ；

易证△AEN∽△DPB，∴ $\frac{A E}{N E} = \frac{D P}{P B}$ ，

∴ $\frac{D F}{N E} = \frac{A E}{N E}$ ，∴AE=DF．

②答：DF=kAE．

证法一：由①同理可得：DE•DF=AE•BF，

∴（AE﹣AD）•DF=AE•（DF﹣BD）

∴AD•DF=AE•BD

∵BD=kAD

∴DF=kAE．

证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．

易证△AQD∽△DPB，得 $\frac{D Q}{P B} = \frac{A D}{B D} = \frac{1}{k}$ ，即PB=kDQ．

由①同理可得： $\frac{D M}{D N} = \frac{D P}{D Q} = \frac{D F}{N E}$ ，

∴ $\frac{D F}{N E} = \frac{k D P}{P B}$ ；

又∵ $\frac{A E}{N E} = \frac{D P}{P B}$ ，

∴ $\frac{D F}{N E} = \frac{k A E}{N E}$ ，

∴DF=kAE

安徽省合肥四十五中2017年中考数学一模试卷