如图，延长BC，作Q关于CM对称点

Q^{'}

，连接

N Q^{'}

交CM于点H，此时△AQH周长最小，

由对称可知 $H Q = H Q^{'}$ ， $C Q = C Q^{'}$ ，

又∵NQ是定值，△NQH的周长 $= N Q + N H + Q H = N Q + (N H + H Q^{'}) \geq N Q + N Q^{'}$ ，

∴当点N，H， $Q^{'}$ 三点共线时△NQH周长最小，

即 $N Q^{'}$ 交CM于点为H点，

∵NM∥BC，

∴ $△ M H N \sim △ C H Q^{'}$ ，

∴ $\frac{M H}{C H} = \frac{M N}{C Q^{'}} = \frac{M N}{C Q}$ ，

由（1）知，四边形BCMN是 $\sqrt{3}$ 矩形，

∴ $M N = B C = \sqrt{3} B N$ ，

又∵ $B N = B Q$ ，

∴ $C Q = B C - B Q = \sqrt{3} B N - B N = (\sqrt{3} - 1) B N$ ，

∴ $\frac{M H}{C H} = \frac{M N}{C Q} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ ，

故 $\frac{M H}{C H}$ 的值为 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ .

陕西省西安市碑林区第八十六中学2021届九年级上学期数学期末考试试卷