解：①如图，连接CD，

∵ $O C = O A = 3$ ，

∴ $∠ O C A = 45 °$ ，

又∵ $C E = D E$ ，

∴ $∠ D C E = 45 °$ ，∴ $∠ D C O = 90 °$ ，

∴CD∥x轴，

∴令 $y = 3$ ，∴ $- x^{2} + 2 x + 3 = 3$ ，

解得： $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 2$ ，∴ $D (2 ， 3)$ ．

②如图，过 $D$ 点作DQ∥y轴

∴∠DQC=∠OCA

又∵ $∠ O C A = 45 °$ ，

∴∠DQC=45°

又∵ $D E ⊥ A C$

∴∠DEQ=90°

∴ $△ D E Q$ 为等腰直角三角形，

∴ $D E = \frac{\sqrt{2}}{2} D Q$ ．

∵ $C (0 ， 3)$ ， $A (3 ， 0)$ ，

∴经过 $A C$ 的直线解析式为 $y = - x + 3$ ；

设 $D (m ， - m^{2} + 2 m + 3)$ ， $Q (m ， - m + 3)$ ，

∴ $D E = \frac{\sqrt{2}}{2} D Q = \frac{\sqrt{2}}{2} [(- m^{2} + 2 m + 3) - (- m + 3)] = - \frac{\sqrt{2}}{2} {(m - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9 \sqrt{2}}{8}$

∴当 $m = \frac{3}{2}$ 时， $D E_{最大值} = \frac{9 \sqrt{2}}{8}$ ，

此时， $D$ 坐标为 $(\frac{3}{2} ， \frac{15}{4})$

山东省泰安市肥城市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷