解：分两种情况：

①如图3所示：

连接CE交GF于H，

∵四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，

∴AB=BC=4，AC= $\sqrt{2}$ AB=4 $\sqrt{2}$ ，GF=CE= $\sqrt{2}$ CF，HF=HE=HC，

∵点F为BC的中点，

∴CF= $\frac{1}{2}$ BC=2，GF=CE=2 $\sqrt{2}$ ，GH=HF=HE=HC= $\sqrt{2}$ ，

∴ $A H = \sqrt{A C^{2} - H C^{2}} = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{30}$ ，

∴ $A G = A H + H G = \sqrt{30} + \sqrt{2}$ ；

②如图4所示：连接CE交GF于H，

同①得：GH=HF=HE=HC= $\sqrt{2}$ ，

∴ $A H = \sqrt{A C^{2} - H C^{2}} = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{30}$ ，

∴ $A G = A H - H G = \sqrt{30} - \sqrt{2}$ ；

故AG的长度为： $\sqrt{30} + \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{30} - \sqrt{2}$

江西省吉安市吉水县2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷