解：几何法：

如图1，过点 $E$ 作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F ，$

由 $A E ⊥ P B ， E F ⊥ P B$ 可知 $∠ A F E$ 为二面角 $C - B P - A$ 的平面角，

若设 $P A = a ，$ 则可求得 $A F = \frac{\sqrt{6}}{3} a ， A E = \frac{\sqrt{2}}{2} a ， E F = \frac{\sqrt{6}}{6} a$

由余弦定理知 $\cos ∠ A F E = \frac{A F^{2} + E F^{2} - A E^{2}}{2 A F \cdot E F} = \frac{1}{2}$

则二面角 $C - B P - A$ 的大小为 $60^{\circ}$

注：若利用 $(1)$ 中 $A E ⊥$ 面 $P B C$ 所得 $A E ⊥ E F ，$

即 $R T △ A E F$ 中 $A F = \frac{\sqrt{6}}{3} a ， A E = \frac{\sqrt{2}}{2} a$

也可求得 $\sin ∠ A F E = \frac{\sqrt{3}}{2}$

空间向量法：当 $P A = A C ， E$ 为 $P C$ 的中点时， $A E ⊥ P C ，$ 则由（1）知 $A E ⊥$ 面 $P B C ，$

故可取面 $P B C$ 的一个法向量为 $\vec{A E} = (0 ， \frac{a}{2} ， \frac{a}{2})$ ；

当 $P A = A C = B C = a$ 时， $\vec{A P} = (0 ， 0 ， a) ， \vec{A B} = (a ， a ， 0)$ ，

若设面 $P A B$ 的法向量为 $\vec{u} = (x ， y ， z)$ ，

则 ${\begin{array}{l} \vec{μ} \cdot \vec{A P} = 0 ， \\ \vec{μ} \cdot \vec{A B} = 0 ， \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} a \cdot z = 0 ， \\ a x + a y = 0 ， \end{array}$ ，可取 $\vec{u} = (1 ， - 1 ， 0)$

则 $\cos 〈 \vec{A E} ， \vec{u} 〉 = \frac{\vec{A E} \cdot \vec{u}}{| \vec{A E} | | \vec{u} |} = \frac{1}{2}$

由图可知二面角 $C - B P - A$ 为锐角，

所以二面角 $C - B P - A$ 的大小为 $60^{\circ}$

山东省菏泽市2021届高三下学期数学3月一模试卷