解：取

C D

中点

M

，连结

M G

，

可得 $M H / / D E$ 且 $M H = \frac{1}{2} D E = 1$

因为平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $D E ⊥ A D$ ，可得 $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，

所以 $M H ⊥$ 平面 $A B C D$ ，所以 $∠ H G M$ 即是直线 $G H$ 与平面 $A B C D$ 做成的角，

则 $t a n ∠ H G M = \frac{1}{G M} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，可得 $G M = \sqrt{2} ， G C = 1$ ，

以 $D$ 为空间坐标原点， $D A ， D C ， D E$ 所在直线分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 $F (1 ， 0 ， 1) ， H (0 ， 1 ， 1) ， G (1 ， 2 ， 0)$ ，

可得 $\vec{D G} = (1 ， 2 ， 0) ， \vec{D F} = (1 ， 0 ， 1) ， \vec{D H} = (0 ， 1 ， 1)$

设平面 $F D G$ 的法向量为 $\vec{n_{1}} = (a ， b ， c)$ ，可得 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{D G} \cdot \overset{⇀}{n_{1}} = 0 \\ \overset{⇀}{D F} \cdot \overset{⇀}{n_{1}} = 0 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} a + 2 b = 0 \\ a + c = 0 \end{array}$ ，

不妨令 $a = - 2$ ，可得 $\vec{n_{1}} = (- 2 ， 1 ， 2)$ ，

设平面 $D G H$ 的法向量为 $\vec{n_{2}} = (x ， y ， z)$ ，可得 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{D G} \cdot \overset{⇀}{n_{2}} = 0 \\ \overset{⇀}{D H} \cdot \overset{⇀}{n_{2}} = 0 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 0 \\ y + z = 0 \end{array}$ ，

不妨令 $x = - 2$ ，可得 $\vec{n_{2}} = (- 2 ， 1 ， - 1)$ ，

则 $c o s 〈 \vec{n_{1}} ， \vec{n_{2}} 〉 = \frac{\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}}{| \vec{n_{1}} | | \vec{n_{2}} |} = \frac{3}{3 \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ ，

又由二面角 $F - D G - H$ 为锐二面角，二面角 $F - D G - H$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

辽宁省沈阳市2020-2021学年高三下学期数学质量监测试卷（一）