证明：如图所示，连接

B D

，取

A D ， B D

的中点分别为

O ， G

，

再连接 $E O ， O G ， G F$ ，由正方形的性质，可得 $G$ 为四边形 $A B C D$ 的中心，

因为点 $F$ 在平面 $A B C D$ 上的射影落在四边形 $A B C D$ 的中心，所以 $F G ⊥$ 平面 $A B C D$ ，

设 $A D = 2$ ，因为 $B F$ 和平面 $A B C D$ 所成的角为45°，所以 $∠ F B G = 45^{0}$ ，

因为 $B G = \frac{B D}{2} = \sqrt{3}$ ，所以 $F G = \sqrt{3}$ ，

又因为平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $A D E \cap$ 平面 $A B C D = A D$ ， $E O ⊥ A D$ ，

所以 $E O ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E O = \sqrt{3}$ ，则 $E O = F G$ ， $E O / / F G$ ，

所以四边形 $E O G F$ 是平行四边形，所以 $E F / / O G$ .

因为 $E F ⊄$ 平面 $A B C D$ ， $O G \subset$ 平面 $A B C D$ ，

所以 $E F / /$ 平面 $A B C D$

湖北省2020-2021学年高三上学期数学高考模拟演练试卷