解：据题已知可建立如图所示空间直角坐标系

D - x y z

，

则 $D (0 ， 0 ， 0) ， B_{1} (2 ， 2 ， 2) ， E (2 ， 1 ， 0) ， F (1 ， 2 ， 0) ， \vec{D B_{1}} = (2 ， 2 ， 2)$ ，

$\vec{E F} = (- 1 ， 1 ， 0) ， \vec{E B_{1}} = (0 ， 1 ， 2)$ ，

由（1）易知 $\vec{D B_{1}} = (2 ， 2 ， 2)$ 为平面 $E F G$ 的一个法向量，

设平面 $E F B_{1}$ 法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} ⊥ \overset{⇀}{E F} \\ \overset{⇀}{n} ⊥ \overset{⇀}{E B_{1}} \end{array}$ 可得 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{E F} \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{E B_{1}} \end{array} \begin{array}{l} = - x + y = 0 ， \\ = y + 2 z = 0 ， \end{array}$ ，

令 $y = 2$ ，则 $x = 2 ， z = - 1$ ，

$∴ \vec{n} = (2 ， 2 ， - 1)$ 是平面 $E F B_{1}$ 的一个法向量，

$∴ \cos 〈 \overset{⇀}{n} ， \overset{⇀}{D B_{1}} 〉 = \frac{\overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{D B_{1}}}{| \overset{⇀}{n} | \times | \overset{⇀}{D B_{1}} |} = \frac{6}{2 \sqrt{3} \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

$∴$ 平面 $E F G$ 与平面 $E F B_{1}$ 所成的二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

广西桂林、崇左市2021届高三理数联合调研考试（二模）试卷