解：①存在

∵点P（x，y）在抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 上，且PN⊥x轴，

∴设点P的坐标为 $(x ， - x^{2} + 2 x + 3)$ ，

同理可设点N的坐标为（x，-x+3），

又∵点P第一象限，

∴PN=PM-NM

=（-x²+2x+3）-（-x+3）

=﹣x²+3x

= $- {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{4}$

∴x= $\frac{3}{2}$ 时，线段PN的长度的最大值为 $\frac{9}{4}$

②如图，由题意点P在线段BC的中垂线上，又OB=OC，

∴BC的中垂线过原点且平分∠BOC

∴设点P坐标为（a，a），又点P在抛物线线上，

∴ $a = - a^{2} + 2 a + 3$ ，即 $a^{2} - a - 3 = 0$ ，

解得： $a_{1} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} ， a_{2} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ ，

∴点P坐标为（ $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ， $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ）或（ $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ ， $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ ），

当点P坐标为（ $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ， $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ）时，此时点P在第一象限，

则PM= $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ，OB=OC=3，

∴ $S_{Δ B P C} = S_{四边形 B O C P} - S_{△ B O C}$

= $2 S_{△ B O P} - S_{△ B O C}$

= $2 \times \frac{1}{2} O B \cdot P M - \frac{1}{2} O B \cdot O C$

= $2 \times \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{1 + \sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} \times 3 \times 3$

= $\frac{3 \sqrt{13} - 6}{2}$ ；

当点P的坐标 $(\frac{1 - \sqrt{13}}{2} ， \frac{1 - \sqrt{13}}{2})$ 时，此时点P在第三象限，

则 $S_{Δ B P C} = S_{Δ B O P} + S_{△ C O P} + S_{△ B O C}$

= $\frac{1}{2} \times 3 \times | \frac{1 - \sqrt{13}}{2} | \times 2 + \frac{1}{2} \times 3 \times 3$

= $\frac{3 \sqrt{13} + 6}{2}$ ，

综上，点P的坐标 $(\frac{1 + \sqrt{13}}{2} ， \frac{1 + \sqrt{13}}{2})$ 时， $S_{Δ B P C} = \frac{3 \sqrt{13} - 6}{2}$ ，

点P的坐标 $(\frac{1 - \sqrt{13}}{2} ， \frac{1 - \sqrt{13}}{2})$ 时， $S_{Δ B P C} = \frac{3 \sqrt{13} + 6}{2}$ ．

辽宁省东港市黑沟学校2020年中考数学模拟试卷