解：①若△OMN∽△BCO，如图2，

则有∠NMO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠NMO=∠B．

∵∠A=∠A，

∴△AOM∽△ACB．

∴ $\frac{A O}{A C}$ = $\frac{A M}{A B}$ ．

∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，

∴AC=8．

∵AO=5，AC=8，AB=10，

∴AM= $\frac{25}{4}$ ．

∴CM=AC﹣AM= $\frac{7}{4}$ ．

②若△OMN∽△BOC，如图3，

则有∠MNO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠MNO=∠B．

∵∠ACO=∠A，

∴△CON∽△ACB．

∴ $\frac{O N}{B C}$ = $\frac{C N}{A B}$ = $\frac{C O}{A C}$ ．

∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，

∴ON= $\frac{15}{4}$ ，CN= $\frac{25}{4}$ ．

过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，

∵∠MNO=∠B，∠MON=∠B，

∴∠MNO=∠MON．

∴MN=MO．

∵MG⊥ON，即∠MGN=90°，

∴NG=OG= $\frac{15}{8}$ ．

∵∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB=90°，

∴△MGN∽△ACB．

∴ $\frac{G N}{B C}$ = $\frac{M N}{A B}$ ．

∵GN= $\frac{15}{8}$ ，BC=6，AB=10，

∴MN= $\frac{25}{8}$ ．

∴CM=CN﹣MN= $\frac{25}{4}$ ﹣ $\frac{25}{8}$ = $\frac{25}{8}$ ．

∴当CM的长是 $\frac{7}{4}$ 或 $\frac{25}{8}$ 时，△OMN与△BCO相似．

天津市河西区双水道中学2016-2017学年中考数学模拟试卷