解：连接

O C

，如图，

∵ $E G // A C$

∴∠ACH =∠G，∠M=∠HAC

∴tan∠ACH =tan∠G

∴ $\frac{A H}{C H} = \frac{H M}{H G} = \frac{3}{4}$

∵ $D C = 8 \sqrt{2}$ ， $C D ⊥ A B$

∴CH= $\frac{1}{2} D C = 4 \sqrt{2}$

∴ $A H = \frac{3}{4} C H$ = $3 \sqrt{2}$

设⊙ $O$ 的半径为 $r$ ，则 $O C = r$ ， $O H = r - 3 \sqrt{2}$ ，

在 $R t △ O C H$ 中， ${(r - 3 \sqrt{2})}^{2} + {(4 \sqrt{2})}^{2} = r^{2}$ ，

解得 $r = \frac{25 \sqrt{2}}{6}$ ，

∴ $O E = \frac{25 \sqrt{2}}{6}$

∵∠OEM=∠CHA=90°

∴ $Rt △ O E M ∽ Rt △ C H A$ ，

∴ $\frac{E M}{A H} = \frac{O E}{C H}$ ，

即 $\frac{E M}{3 \sqrt{2}} = \frac{\frac{25 \sqrt{2}}{6}}{4 \sqrt{2}}$ ，

∴ $E M = \frac{25 \sqrt{2}}{8}$ ．

福建省福州市三牧（鼓楼）校区、初中部2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷