解：①如图，作CQ∥BM交AB延长线于Q，设BP＝x，则PQ＝2x

∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，

∴△APC∽△ACQ，

由AC²＝AP·AQ得：2²＝（3－x）（3＋x），∴x＝ $\sqrt{5}$

即BP＝ $\sqrt{5}$ ；

②如图：作CQ⊥AB于点Q，作CP₀＝CP交AB于点P₀，

∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝ $\sqrt{3}$ ，

设AP₀=x，P₀Q＝PQ＝1－x，BP＝ $\sqrt{3}$ －1＋x，

∵∠BPM＝∠CP₀A，∠BMP＝∠CAP₀，

∴△AP₀C∽△MPB，∴ $\frac{A P_{0}}{M P} = \frac{P_{0} C}{B P}$ ，

∴MP∙P₀C＝ $\frac{1}{2} P_{0} C^{2} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} + {(1 - x)}^{2}}{2} =$ AP₀∙BP＝x（ $\sqrt{3}$ －1＋x），

解得x＝ $\sqrt{7} - \sqrt{3}$

∴BP＝ $\sqrt{3}$ －1＋ $\sqrt{7} - \sqrt{3}$ ＝ $\sqrt{7} - 1$ ．

内蒙古乌兰察布市凉城县宏远中学2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷