解：取AB中点E，连接OE，

∵

O为

△ A B C

的中心，且

△ A B C

为等边三角形，

$∴ O E ⊥ A B$ ，

以点O为原点，OE所在直线为x轴，过点O作平行于AB的直线为y轴， $O A_{1}$ 所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，

$∴ A (\frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2} ， 0)$ ， $B (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2} ， 0)$ ， $C (- 1 ， 0 ， 0)$ ， $A_{1} (0 ， 0 ， \sqrt{3})$ ，

$∴ C_{1} (- \frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2} ， \sqrt{3})$ ， $\vec{C_{1} A} = (2 ， - \sqrt{3} ， - \sqrt{3})$ ， $\vec{A B} = (0 ， \sqrt{3} ， 0)$ ，

设平面 $C_{1} A B$ 的一个法向量为 $\vec{n_{1}} = (x ， y ， z)$ ，

$∴ {\begin{array}{l} {\vec{n}}_{1} \cdot \overset{⇀}{C_{1} A} = 0 = 0 \\ {\vec{n}}_{1} \cdot \overset{⇀}{A B} = 0 \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} 2 x - \sqrt{3} y - \sqrt{3} z = 0 \\ \sqrt{3} y = 0 \end{array}$ ，取 $x = \sqrt{3}$ 可得平面 $C_{1} A B$ 的一个法向量为 $\vec{n_{1}} = (\sqrt{3} ， 0 ， 2)$

且平面ABC的一个法向量 $\vec{n_{2}} = (0 ， 0 ， 1)$ ，

设二面角 $C_{1} - A B - C$ 平面角为 $θ$ ， ${\vec{n}}_{1}$ ， ${\vec{n}}_{2}$ 所成角为 $φ$ ，显然 $θ$ 为锐角，

$∴ \cos θ = | \cos φ | = | \frac{\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}}{| \vec{n_{1}} | \cdot | \vec{n_{2}} |} | = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ .

2020年-2021年高三数学教学质量检测模拟卷(一)