解：由（1）可知，

E B

，

E F

，

E A

，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，

则： $E (0 ， 0 ， 0)$ ， $A (0 ， 0 ， 3)$ ， $F (0 ， 1 ， 0)$ ，

$D (- \sqrt{3} ， 0 ， 0)$ ， $C (- 2 \sqrt{3} ， 3 ， 0)$ ， $M (- \sqrt{3} ， \frac{3}{2} ， \frac{3}{2})$ ，

∵ $A E ⊥$ 平面 $C F D$ ， $\vec{E A} = (0 ， 0 ， 3)$ 是平面 $C F D$ 的一个法向量.

设平面 $M D F$ 的法向量为 $\vec{n} = (a ， b ， c)$ ，

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{D M} = \frac{3}{2} y + \frac{3}{2} z = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{D F} = \sqrt{3} x + y = 0 \end{array} ，$ 取 $\vec{n} = (1 ， - \sqrt{3} ， \sqrt{3})$ .

则 $\cos 〈 \vec{E A} ， \vec{n} 〉 = \frac{\vec{E A} \cdot \vec{n}}{| \vec{E A} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot \sqrt{1 + 3 + 3}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .

所以二面角 $C - D F - M$ 的余弦值 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

浙江省温州市十校联合体2020-2021学年高二上学期数学期末联考试卷