解：如图，过点

A

作

A H ⊥ B C

于点

H

.

∵ $Δ A B C$ 是边长为 $a$ 的等边三角形，

∴ $∠ C A H = 30 °$ ，∴ $A H = A C \cdot \cos 30^{°} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ ，

∴ $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} a \times \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ .

由旋转的性质可知， $∠ P A Q = ∠ B A C = 60 °$ ， $A P = A Q$ ，

∴ $Δ A P Q$ 是等边三角形.

∵ $Δ A B C$ 是等边三角形，∴ $Δ A P Q ∽ Δ A B C$ ，

∴ $\frac{S_{Δ A P Q}}{S_{Δ A B C}} = {(\frac{A P}{A C})}^{2}$ .

∵当点 $P$ 与点 $H$ 重合时， $A P$ 最小，

∴ $Δ A P Q$ 的面积的最小值为 ${(\frac{A H}{A C})}^{2} \cdot S_{Δ A B C} = {(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{a})}^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{16} a^{2}$ .

青海省海东市2020年九年级下学期数学中考三模试卷