证明：①

∵

四边形ABCD是正方形，

$∴ A B = D C = A D = B C ， ∠ B A E = ∠ C D E = 90 °$ ，

$∵$ 点E是AD的中点，

$∴ A E = D E = \frac{1}{2} A D$ ，

在 $△ A B E$ 和 $△ D C E$ 中， ${\begin{array}{l} A B = D C \\ ∠ B A E = ∠ C D E \\ A E = D E \end{array}$ ，

$∴ △ A B E ≅ △ D C E (S A S)$ ，

$∴ ∠ A B E = ∠ D C E$ ，

由（2）知， $∠ E A F = ∠ D C E$ ，

$∴ ∠ A B E = ∠ E A F$ ，

又 $∵ ∠ E A F + ∠ B A F = ∠ B A E = 90 °$ ，

$∴ ∠ A B E + ∠ B A F = 90 °$ ，

$∴ ∠ A M B = 180 ° - (∠ A B E + ∠ B A F) = 90 °$ ，

$∴ B E ⊥ A F$ ；

②如图，延长 $A F$ 交 $B C$ 的延长线于点 $H$ ，交 $C D$ 于点 $G$ ，

在 $△ A B E$ 和 $△ D A G$ 中， ${\begin{array}{l} ∠ A B E = ∠ D A G \\ A B = D A \\ ∠ B A E = ∠ A D G = 90 ° \end{array}$ ，

$∴ △ A B E ≅ △ D A G (A S A)$ ，

$∴ D G = A E = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} C D$ ，

$∴ D G = C G$ ，

在 $△ D A G$ 和 $△ C H G$ 中， ${\begin{array}{l} ∠ A D G = ∠ H C G = 90 ° \\ D G = C G \\ ∠ A G D = ∠ H G C \end{array}$ ，

$∴ △ D A G ≅ △ C H G (A S A)$ ，

$∴ C H = A D = B C$ ，

$∴ C M$ 是 $△ B H M$ 边BH上的中线，

由①可知， $△ B H M$ 是直角三角形，且BH是斜边，

$∴ C B = C M$ .

海南省二十五校2020年数学7月模拟联考试卷