解：存在，

P (3 ， 4)

或

P (- \frac{3}{4} ， \frac{19}{16})

，

将△AOC顺时针方向旋转90º，到△A′OB，则A′O=AO=1，∠ACO=∠A′BO，

∴A′（0，1），

直线BP过点A′，

设BP解析式为：y=k₁x+b₁，

将B（4，0），A′（0，1）代入得： ${\begin{array}{l} b_{1} = 1 \\ 4 k_{1} + b_{1} = 0 \end{array}$ ，

解得： ${\begin{array}{l} b_{1} = 1 \\ k_{1} = - \frac{1}{4} \end{array}$ ，

BP解析式为： $y = - \frac{1}{4} x + 1$ ，

BP与抛物线的交点坐标满足 ${\begin{array}{l} y = - x^{2} + 3 x + 4 \\ y = - \frac{1}{4} x + 1 \end{array}$ ，

解得 ${\begin{array}{l} x = - \frac{3}{4} \\ y = \frac{19}{16} \end{array}$ 或 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 0 \end{array}$ ，

所以 $P (- \frac{3}{4} ， \frac{19}{16})$ ，

此时∠CBP+∠A′BO=∠CBP+∠ACO=45º，

过C作CF∥x轴，与过B作BF∥y轴交于F，则四边形OBFC为正方形，

作A′关于BC的对称点在CF上G点过B作直线BG，直线BG与抛物线的交点满足条件，

GF=OA′=1，CG=CF-FG=4-3=3，BF=OC=4，G（3，4）与D重合，点D在抛物线上，P（3，4），

抛物线上是存在点 $P$ ，使 $∠ C B P + ∠ A C O = 45 °$ 点 $P$ 的坐标为； $P (3 ， 4)$ 或 $P (- \frac{3}{4} ， \frac{19}{16})$

辽宁省葫芦岛市连山区2021届九年级上学期数学期末考试试卷