解：

∵ △ A B C

为等腰直角三角形，

$∴ B C = A C ， ∠ A C B = 90 °$ ，

$∴$ 以点 $C$ 为中心，将 $△ A C M$ 逆时针旋转 $90 °$ 时，点A的对应点 $A^{'}$ 与点B重合，

则旋转后的 $△ A^{'} C M^{'}$ 如图1所示：

如图1，连接 $M^{'} N$ ，

∵ $△ A B C$ 与 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形，

∴ $∠ A C B = 90 ° ， ∠ D C E = 45 ° ， ∠ A = ∠ A B C = 45 °$ ，

$∴ ∠ A C M + ∠ B C N = 90 ° - ∠ D C E = 45 °$ ，

由旋转的性质得： $∠ C B M^{'} = ∠ A = 45 ° ， ∠ B C M^{'} = ∠ A C M ， C M = C M^{'} ， A M = B M^{'}$ ，

∴ ${\begin{array}{l} ∠ M^{'} C N = ∠ B C M^{'} + ∠ B C N = ∠ A C M + ∠ B C N = 45 ° \\ ∠ N B M^{'} = ∠ A B C + ∠ C B M^{'} = 90 ° \end{array}$ ，

$∴ ∠ M^{'} C N = ∠ M C N$ ，

在 $△ M C N$ 和 $△ M^{'} C N$ 中， ${\begin{array}{l} C M = C M^{'} \\ ∠ M C N = ∠ M^{'} C N \\ C N = C N \end{array}$ ，

∴ $△ M C N ≅ △ M^{'} C N (S A S)$ ，

∴ $M N = M^{'} N$ ，

在 $R t △ B M^{'} N$ 中，由勾股定理得： $B {M^{'}}^{2} + B N^{2} = M^{'} N^{2}$ ，

∴ $A M^{2} + B N^{2} = M N^{2}$ ；

重庆市璧山区八校2021届九年级上学期数学期中联考试卷