解：如图，过点E作

E G ⊥ B E

交BF于点G，

$E G ⊥ E B$ ， $E G ⊥ D E$ ， $E B \cap D E = E$ ，BE与DE在平面BCDE内，

所以 $E G ⊥$ 平面BCDE.

分别以ED，EB，EG为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

$E (0 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 2 ， 0)$ ， $C (2 ， 2 ， 0)$ ， $D (2 ， 0 ， 0)$ ，

$F (0 ， - 1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{F E} = (0 ， 1 ， - \sqrt{3})$ ， $\vec{F D} = (2 ， 1 ， - \sqrt{3})$ ，

$\vec{F B} = (0 ， 3 ， - \sqrt{3})$ ， $\vec{F C} = (2 ， 3 ， - \sqrt{3})$ .

设平面FED的法向量为 $\vec{m} = (a ， b ， c)$ ，

${\begin{array}{l} \overset{⇀}{F E} \cdot \overset{⇀}{m} = 0 ， \\ \overset{⇀}{F D} \cdot \overset{⇀}{m} = 0 ， \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} b - \sqrt{3} c = 0 \\ 2 a + b - \sqrt{3} c = 0 \end{array}$ ，令 $c = 1$ ，得 $\vec{m} = (0 ， \sqrt{3} ， 1)$ .

设平面FBC的法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，

${\begin{array}{l} \overset{⇀}{F B} \cdot \overset{⇀}{n} = 0 ， \\ \overset{⇀}{F C} \cdot \overset{⇀}{n} = 0 ， \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} 3 y - \sqrt{3} z = 0 \\ 2 x + 3 y - \sqrt{3} z = 0 \end{array}$ 令 $c = \sqrt{3}$ ，得 $\vec{n} = (0 ， 1 ， \sqrt{3})$ ，

平面FDE与平面FBC所成的锐二面角为 $θ$ ，

则 $\cos θ = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} || \vec{n} |} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

云南大学附属中学呈贡校区2021届高三上学期理数第四次月考试卷